Energía cinética E.Ferney.A: Energía cinética en M. relativista

Energía cinética en M. relativista

14:36 |

Publicado por EDISON AGUDELO |

Energía cinética de una partícula

Si la rapidez de un cuerpo es una fracción significante de la velocidad de la luz, es necesario utilizar mecánica relativista para poder calcular la energía cinética. En relatividad especial, debemos cambiar la expresión para el momento lineal y de ella por interacción se puede deducir la expresión de la energía cinética:

$E_c = m \gamma c^2 - m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m c^2$

Tomando la expresión relativista anterior, desarrollándola en serie de Taylor y tomando únicamente el término $(1 / 2) m (v 2 / c 2)$ se recupera la expresión de la energía cinética típica de la mecánica newtoniana:²

$E_c = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-mc^2= mc^2\left [\frac{1}{2}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)+ \frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+...\right] = \frac{1}{2}mv^2$

Se toma únicamente el primer término de la serie de Taylor ya que, conforme la serie progresa, los términos se vuelven cada vez más y más pequeños y es posible despreciarlos.

La ecuación relativista muestra que la energía de un objeto se acerca al infinito cuando la velocidad v se acerca a la velocidad de la luz c, entonces es imposible acelerar un objeto a esas magnitudes. Este producto matemático es la fórmula de equivalencia entre masa y energía, cuando el cuerpo está en reposo obtenemos esta ecuación:

$E_0 = m c^2 \!$

Así, la energía total E puede particionarse entre las energías de las masas en reposo mas la tradicional energía cinética newtoniana de baja velocidad. Cuando los objetos se mueven a velocidades mucho más bajas que la luz (p.e. cualquier fenómeno en la tierra) los primeros dos términos de la serie predominan.

La relación entre energía cinética y momentum es más complicada en este caso y viene dada por la ecuación:

$E_c = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2$

Esto también puede expandirse como una serie de Taylor, el primer termino de esta simple expresión viene de la mecánica newtoniana. Lo que sugiere esto es que las fórmulas para la energía y el momento no son especiales ni axiomáticas pero algunos conceptos emergen de las ecuaciones de masa con energía y de los principios de la relatividad.

[editar]Energía cinética de un sólido en rotación

A diferencia del caso clásico la energía cinética de rotación en mecánica relativista no puede ser representada simplemente por un tensor de inercia y una expresión cuadrática a partir de él en el que intervenga lavelocidad angular. El caso simple de una esfera en rotación ilustra este punto; si suponemos una esfera de un material suficientemente rígido para que podamos despreciar las deformaciones por culpa de la rotación (y por tanto los cambios de densidad) y tal que su velocidad angular satisfaga la condición $\scriptstyle \omega R < c$ se puede calcular la energía cinética $\scriptstyle E_c$ a partir de la siguiente integral:

$E_c + m_0c^2 = \int_S \frac{c^2 dm}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 2\pi \int_{r=0}^{r=R} \int_{\theta = 0}^{\theta = \pi} \frac{\rho c^2}{\sqrt{1-\frac{r^2\omega^2}{c^2}}} r^2\sin \theta drd\theta$

Integrando la expresión anterior se obtiene la expresión:

$E_c = \frac{3}{2}m_0c^2 \left(\frac{c}{R\omega}\right)^2 \left[ 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{R\omega}{c}-\frac{c}{R\omega}\right) \ln \left(\frac{c+R\omega}{c-R\omega} \right) \right] - m_0c^2$

Comparación entre la expresión para la energía cinética de una esfera de acuerdo con la mecanica clásica y lamecánica relativista (aquí R es el radio, ω la velocidad angular y m₀ la masa en reposo de la esfera.

Para una esfera en rotación los puntos sobre el eje no tienen velocidad de traslación mientras que los puntos más alejados del eje de giro tienen una velocidad $\scriptstyle \omega R$ , a medida que esta velocidad se aproxima a la velocidad de la luz la energía cinética de la esfera tiende a crecer sin límite. Esto contrasta con la expresión clásica que se da a continuación:

$E_c = \frac{1}{2}I \omega^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} m_0R^2\right) \omega^2$

Paradójicamente, dentro de la teoría especial de la relatividad, el supuesto de que un medio continuo indeformable lleva a que los puntos más alejados del eje de giro alcancen la velocidad de la luz aplicando al cuerpo una cantidad finita de energía. Lo cual revela que el supuesto no puede ser correcto cuando algunos puntos de la periferia del sólido están moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz.

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