Energía cinética E.Ferney.A: Energía cinética en M. cuántica

Energía cinética en M. cuántica

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En la mecánica cuántica, el valor que se espera de energía cinética de un electrón, $\langle\hat{T}\rangle$ , para un sistema de electrones describe una función de onda $\vert\psi\rangle$ que es la suma de un electrón, el operador se espera que alcance el valor de:

$\langle\hat{T}\rangle = -\frac{\hbar^2}{2 m_e}\bigg\langle\psi \bigg\vert \sum_{i=1}^N \nabla^2_i \bigg\vert \psi \bigg\rangle$

donde $m e$ es la masa de un electrón y $\nabla^2_i$ es el operador laplaciano que actúa en las coordenadas del electrón i^ésimo y la suma de todos los otros electrones. Note que es una versión cuantizada de una expresión no relativista de energía cinética en términos de momento:

$E_c = \frac{p^2}{2m}$

El formalismo de la funcional de densidad en mecánica cuántica requiere un conocimiento sobre la densidad electrónica, para esto formalmente no se requiere conocimientos de la función de onda.

Dado una densidad electrónica $\rho(\mathbf{r})$ , la funcional exacta de la energía cinética del n-ésimo electrón es incierta; sin embargo, en un caso específico de un sistema de un electrón, la energía cinética puede escribirse así:

$T[\rho] = \frac{1}{8} \int \frac{ \nabla \rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla \rho(\mathbf{r}) }{ \rho(\mathbf{r}) } d^3r$

donde $T [ρ]$ es conocida como la funcional de la energía cinética de Von Weizsacker.

[editar]Energía Cinética de partículas en la mecánica cuántica

En la teoría cuántica una magnitud física como la energía cinética debe venir representada por un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert adecuado. Ese operador puede construirse por un proceso decuantización, el cual conduce para una partícula moviéndose por el espacio euclídeo tridimensional a una representación natural de ese operador sobre el espacio de Hilbert $L^2(\R)$ dado por:

$\hat{E}_c = -\hbar^2 \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)$

que, sobre un dominio denso de dicho espacio formado clases de equivalencia representables por funciones C², define un operador autoadjunto con autovalores siempre positivos, lo cual hace que sean interpretables como valores físicamente medibles de la energía cinética.

[editar]Energía Cinética del sólido rígido en la mecánica cuántica

Un sólido rígido a pesar de estar formado por un número infinito de partículas, es un sistema mecánico con un número finito de grados de libertad lo cual hace que su equivalente cuántico pueda ser representado por sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita de tipo L² sobre un espacio de configuración de inútiles dimensión finita. En este caso el espacio de configuración de un sólido rígido es precisamente el grupo de Lie SO(3) y por tanto el espacio de Hilbert pertinente y el operador energía cinética de rotación pueden representarse por:

$\mathcal{H} = L^2(SO(3),\mu_h) \qquad \hat{E}_{rot}= \left(\frac{\hat{L}_x^2}{2I_1} + \frac{\hat{L}_y^2}{2I_2} + \frac{\hat{L}_z^2}{2I_3} \right)$

donde $μ h$ es la medida de Haar invariante de SO(3), $\hat{L}_i$ son los operadores del momento angular en la representación adecuada y los escalares $I i$ son los momentos de inercia principales.

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Energía cinética en M. cuántica

[editar]Energía Cinética de partículas en la mecánica cuántica

[editar]Energía Cinética del sólido rígido en la mecánica cuántica

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